Pregunta: 2. (6.02 puntos, 0.86 cada pregunta) Justifique plenamente su respuesta, respuesta sin justificación no recibirá puntuación. (a) Demuestre que para todo número natural n se tiene que 2(30+31+⋯+3n)=3n+1−1. (b) Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto de referencia U. Demuestre que (A−B)∩C= (A∩C)−B=(A∩C)−(B∩C). (c) Sea A={Ai:i∈I} una familia no vacía de

2. (6.02 puntos, 0.86 cada pregunta) Justifique plenamente su respuesta, respuesta sin justificación no recibirá puntuación. (a) Demuestre que para todo número natural $n$ se tiene que $2\left(3^0+3^1+\cdots +3^n\right)=3^{n+1}-1$. (b) Sean $A,B,C$ subconjuntos de un conjunto de referencia $U$. Demuestre que $(A-B)\cap C=$ $(A\cap C)-B=(A\cap C)-(B\cap C)$. (c) Sea $\mathcal{A}=\left\{A_i:i\in I\right\}$ una familia no vacía de subconjuntos en un conjunto de referencia $U$ donde el índice $I\ne \varnothing$. Sea $B\subset U$. Muestre que $\left({\bigcup }_{i\in I}{A}_i\right)-B={\bigcup }_{i\in I}\left(A_i-B\right)$. (d) Encuentre ${\bigcup }_{k\in {\mathbb{Z}}^{+}}{A}_k$ y ${\bigcap }_{k\in {\mathbb{Z}}^{+}}{A}_k$, donde $A_k=\left[0,\frac{2k^2-1}{k^2+1}\right)\cup \left(5,\frac{5k+1}{k}\right)$. (e) Encuentre una familia indexada $B_k$ tal que $B_k\subset \mathbb{R}$ para cada $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$, todos los elementos $B_k$ sean diferentes y se tenga ${\bigcup }_{k\in {\mathbb{Z}}^{+}}{B}_k=\mathbb{R}$ y ${\bigcap }_{k\in {\mathbb{Z}}^{+}}{B}_k=\mathbb{Z}$. (f) Muestre que la siguiente relación es de equivalencia y describa la correspondiente partición. Definimos la relación $\sim$ en $\mathbb{R}-\{0\}$ como $x\sim y$ si y solo si $xy>0$. (g) Para la siguiente partición describa la correspondiente relación de equivalencia. Sea $\mathcal{Q}={\left\{Q_n\right\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ la partición de $\mathbb{R}-\{0\}$ dada por $Q_n=\left\{x\in \mathbb{R}:1\le \left|\frac{x}{2^n}\right|<2\right\}$.