Pregunta: 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 + 2𝑥 , −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 . El punto mínimo en el gráfico es (−1, −1). (a) Sea 𝒫 la partición etiquetada de [−3,3] en 9 intervalos, que consta de los intervalos y etiquetas dadas a continuación: ([−3, −2], etiqueta: −2.5), ([−2, −1.5], etiqueta: −1.8), ([−1.5, −1], etiqueta: −1), ([−1, −0.25], etiqueta: −1), ([−0.25, 0], etiqueta: −0.125), ([0, 1],

𝑓(𝑥) = 𝑥^2 + 2𝑥 , −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 .

El punto mínimo en el gráfico es (−1, −1).

(a) Sea 𝒫 la partición etiquetada de [−3,3] en 9 intervalos, que consta de los intervalos
y etiquetas dadas a continuación:
([−3, −2], etiqueta: −2.5), ([−2, −1.5], etiqueta: −1.8), ([−1.5, −1], etiqueta: −1),
([−1, −0.25], etiqueta: −1), ([−0.25, 0], etiqueta: −0.125), ([0, 1], etiqueta: 0.4),
([1, 1.7], etiqueta: 1.3), ([1.7, 2.4], etiqueta: 2.1), ([2.4, 3], etiqueta: 2.5).
Calcula el valor de la suma de Riemann 𝒮(𝑓, 𝒫). Mostrar funcionamiento completo.

(b) Sea 𝑛 un entero positivo. Sea 𝑄 _2n la partición de [−3,3] en intervalos de 2𝑛 como
de la siguiente manera: Los primeros 𝑛 intervalos definen una partición de [−3, −1] en segmentos de igual ancho
cada uno de longitud 2/𝑛. Los siguientes intervalos de 𝑛 definen una partición de [−1,3] en partes de igual ancho
segmentos cada uno de longitud 4/𝑛. Demuestra que la suma de Riemann inferior 𝐿(𝑓, 𝑄2𝑛) viene dada por
6/𝑛2 (𝑎𝑛^2 + 𝑏𝑛 + 𝑐),
donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes enteras a determinar, y encuentra una expresión similar para
la suma de Riemann superior 𝑈(𝑓,𝑄2𝑛). Mostrar funcionamiento completo.

c) Demuestra a partir de los primeros principios usando los resultados obtenidos en la parte (b) que 𝑓 es Riemann
integrable en [−3,3], y que
∫-3 a 3 𝑓= 18 .