Pregunta: 1.Sean X e Y variables aleatorias N(0, 1) independientes, y defina una nueva variable aleatoria Z por Z =X si XY > 0 −X si XY< 0 Pregunta: Demuestre que Z tiene una distribución normal. Demuestre que la distribución conjunta de Z e Y no es normal bivariada. (Sugerencia: tenga en cuenta que Z e Y tienen el mismo signo. Argumente por qué esta es una condición

1.Sean X e Y variables aleatorias N(0, 1) independientes, y defina una nueva variable aleatoria Z por

Z =X si XY > 0

−X si XY< 0

Pregunta: Demuestre que Z tiene una distribución normal.

Demuestre que la distribución conjunta de Z e Y no es normal bivariada. (Sugerencia: tenga en cuenta que Z e Y tienen el mismo signo. Argumente por qué esta es una condición suficiente para probar su resultado).

2. X e Y son variables aleatorias independientes con X ∼ exp(λ) e Y ∼ exp(µ). Es imposible obtener observaciones directas de X e Y. En cambio, observamos las variables aleatorias Z y W, donde: Z = min {X, Y } y W =1 si Z = X, o =0 si Z = Y•

Encuentre la distribución conjunta Z y W.

Demuestre que Z y W son independientes. (Sugerencia: demuestre que P(Z ≤ z|W = w) =P(Z ≤ z) para w= 0 o 1.

3. Demuestre el siguiente enunciado que implica que la expectativa condicional tiene la propiedad de predicción óptima en términos del error cuadrático medio. Sea Y una variable aleatoria con E(Y2) <∞. Entonces, para cualquier otra variable aleatoria medible G Y˜, E[(Y − E[Y |G])^2]≤ E[(Y − Y)^2].