Resuelto *15. Suponga que ϕ es continua y que

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Pregunta: *15. Suponga que ϕ es continua y que limx→∞ϕ(x)/xn=0=limx→−∞ϕ(x)/xn. (a) Demuestre que si n es impar, entonces existe un número x tal que xn+ϕ(x)=0. (b) Demuestre que si n es par, entonces existe un número y tal que yn+ϕ(y)≤xn+ϕ(x) para todo x. Indicación: En estesproblema, ¿qué demostraciones se trata de comprobar que el lector haya entendido?

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Solución
Paso 1
(a) Como $lim_{x \to \infty} \frac{ϕ (x)}{x^{n}} = 0$ , entonces, por definición, tenemos que existe $x_{1} > 0$ tal que para todo $x > x_{1}$ ,
$| \frac{ϕ (x)}{x^{n}} | < 1$ ,
o, equivalentemen...
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*15. Suponga que

ϕ

es continua y que

lim_{x \to \infty} ϕ (x) / x^{n} = 0 = lim_{x \to - \infty} ϕ (x) / x^{n}

. (a) Demuestre que si

n

es impar, entonces existe un número

x

tal que

x^{n} + ϕ (x) = 0

. (b) Demuestre que si

n

es par, entonces existe un número

y

tal que

y^{n} + ϕ (y) \leq x^{n} + ϕ (x)

para todo

x

. Indicación: En estesproblema, ¿qué demostraciones se trata de comprobar que el lector haya entendido?