Pregunta: 13. Recurrencia. Sea {Xn:n⩾0} una caminata aleatoria simple sobre Z que inicia en X0=0. Sea fij la probabilidad de que eventualmente la caminata visite el estado j a partir del estado i, es decir, fij=P(Xn=j para alguna n⩾1∣X0=i). Lleve a cabo cada uno de los siguientes pasos para encontrar nuevamente la probabilidad de un eventual retorno a la posición de

13. Recurrencia. Sea $\left\{X_n:n⩾0\right\}$ una caminata aleatoria simple sobre $\mathbf{Z}$ que inicia en $X_0=0$. Sea $f_{ij}$ la probabilidad de que eventualmente la caminata visite el estado $j$ a partir del estado $i$, es decir, $f_{ij}=P\left(X_n=j\text{ para alguna }n⩾1\mid X_0=i\right).$ Lleve a cabo cada uno de los siguientes pasos para encontrar nuevamente la probabilidad de un eventual retorno a la posición de origen $f_{00}$ - a) Demuestre que $f_{-1,1}=f_{-1,0}{f}_{01}=f_{01}^2$. b) Condicionando sobre el primer paso de la caminada, demuestre que $f_{00}=p{f}_{10}+q{f}_{-1,0}=p{f}_{10}+q{f}_{01}$. c) Usando la misma térnica que en $\mathrm{e}$ inciso anterior demuestre que $f_{01}=p+q{f}_{01}^2$. d) Resuelva la ecuación cuadrática del inciso anteriot y obtenga las dos raices $f_{01}=1,p/q$. 3. EjERCICIOS 25 e) De manera análoga obtenga $f_{10}=1,q/p$. f) Analice los casos $p>q$ y $p<q$ por separado para encontrar que $f_{00}=2q$ y $f_{00}=2p$, respectivamente. Concluya que $f_{00}=2\min \{p,q\}=1-|p-q|.$