Pregunta: 1. Supongamos que X1,X2,X3 denotan una muestra aleatoria de una distribución exponencial con función de densidad

1. Supongamos que X1,X2,X3 denotan una muestra aleatoria de una distribución exponencial con función de densidad

θθ f(x)=1e−x, x>0

1

θ Considere los siguientes cinco estimadores de θ.

T1 =X1, T2 =X1+X2, T3 =X1+2X2, T4 =X(1), T5 =X ̄ 23

.

(a) cuáles de estos estimadores son insesgados.

(b) entre los estimadores insesgados, cuál tiene la varianza más pequeña.

2. Supongamos que X1,...,Xn constituye una muestra aleatoria de una población con función de densidad de probabilidad

θ θ+1

f(x)= 1 e−x, x>0; θ>−1

θ+1

3. Demuestre que MSEθ(T) = V arθ(T) + (Biasθ(T))2

Encuentre un estimador insesgado para θ

4. El número de averías semanales de un tipo de minicomputadora es una variable aleatoria X con distribución de Poisson y media λ. Se dispone de una muestra aleatoria X1,...,Xn de observaciones sobre el número semanal de desgloses.

(a) Encuentre un estimador insesgado para λ

(b) El costo semanal de reparar estas averías es C = 3X + X2. Demuestre que E(C) = 4λ + λ2

5. La lectura de un medidor de voltaje conectado a un circuito de prueba se distribuye uniformemente en el intervalo (θ, θ + 1), donde θ es el voltaje verdadero pero desconocido del circuito. Supongamos que X1, ..., Xn denotan una muestra aleatoria de dicha lectura.

(a) Demuestre que X ̄ es un estimador sesgado de θ y calcule el sesgo.

2

(b) Encuentre una función de X ̄ que sea un estimador insesgado de θ. (c) Encuentre el MSE(X ̄) cuando X ̄ se utiliza como estimador de θ

6. Supongamos que X1,X2,...Xn denota una muestra aleatoria de una población cuya densidad está dada por αxα−1

fθ(x)= θα , 0≤x≤θ

Donde α > 0 es fijo y conocido pero θ es desconocido. (a) Demuestre que T(X) = X(n) es un estimador de sesgo para θ. (b) Deduzca el MSE para T(X).

7. Sea X ∼ N (θ, 1). Calcule los MSE de los tres estimadores T1=X, T2=X, T3=0,

2

qué estimador es el mejor entre los tres.

8. Si X1, X2, ..., Xn denotan una muestra aleatoria de una distribución geométrica con parámetro p, muestre

que X ̄ es suficiente para p.

9. Supongamos que X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una función de densidad de probabilidad

fθ(x) = e−(x−θ), x ≥ 0

Demuestre que T = X(1) es suficiente para θ

10. Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de la función de densidad de Weibull dada por

2x −x2 fθ(x)=θeθ, x>0

Encuentre el MVUE para θ

11. Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de X ∼ BIN(1, θ) y sea T = 🏰ni=1 Xi

(a) Demuestre que T es un estadístico suficiente para este modelo,

(b) dejar

U= Encuentre Eθ(U) y E(U/T = t)

U(X1)=1, si X1 =1 0, en otro lugar

12. Supongamos que X1, X2, ..., Xn denotan una muestra aleatoria de la distribución normal con media μ y varianza 1.

(a) Demuestre que la MVUE de μˆ2 es X ̄−1 n

(b) Deduzca la varianza de μˆ2.