Pregunta: 1. Supongamos que f ( x y )= x 2+ y 2?4 x ?6 y +2 (A) ¿Cuántos puntos críticos tiene f en R 2? (Nota, R 2 es el conjunto de todos los pares de números reales, o el plano ( x y ).) (B) Si hay un mínimo local, ¿cuál es el valor del discriminante D en ese punto? Si no hay ninguno, escriba N. (C) Si hay un máximo local, ¿cuál es el valor del

1. Supongamos que f ( x y )= x 2+ y 2?4 x ?6 y +2

(A) ¿Cuántos puntos críticos tiene f en R 2?

(Nota, R 2 es el conjunto de todos los pares de números reales, o el plano ( x y ).)

(B) Si hay un mínimo local, ¿cuál es el valor del discriminante D en ese punto? Si no hay ninguno, escriba N.

(C) Si hay un máximo local, ¿cuál es el valor del discriminante D en ese punto? Si no hay ninguno, escriba N.

(D) Si hay un punto silla, ¿cuál es el valor del discriminante D en ese punto? Si no hay ninguno, escriba N.

(E) ¿Cuál es el valor máximo de f en R 2? Si no hay ninguno, escriba N.

(F) ¿Cuál es el valor mínimo de f en R 2 ? Si no hay ninguno, escriba N.

2. Suponga que f ( x y )= xy (1?2 x ?3 y ).
f ( x y ) tiene 4 puntos críticos. Enumérelos en orden lexográfico creciente. Con eso queremos decir que (x, y) viene antes que (z, w) si x z o si x = z y y w . Además, describa el tipo de punto crítico escribiendo MA si es un máximo local, MI si es un mínimo local y S si es un punto silla.

Primer punto (,) de tipo
Segundo punto (,) de tipo
Tercer punto (,) de tipo
Cuarto punto (,) de tipo

3. Cada una de las siguientes funciones tiene como máximo un punto crítico. Decida si el punto crítico es un máximo local (MA), un mínimo local (MI) o un punto de silla (S). Ingrese la abreviatura apropiada para cada pregunta, o N si no hay un punto crítico.

(A) f ( x y )= e^( ?3 x^ 2?1 y^ 2)
Tipo de punto crítico:

(B) f ( x y )= e^( 3 x^ 2?1 y^ 2)
Tipo de punto crítico:

(C) f ( x y )=3 x^ 2+1 y^ 2+4
Tipo de punto crítico:

(D) f ( x y )=3 x +1 y +4
Tipo de punto crítico:

4. Considere la función z = x^ 5 y ?5 x^ 4+1 y . Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de la función. Si hay más espacios en blanco que puntos críticos, deje las entradas restantes en blanco.

El punto crítico con la coordenada x más pequeña es
(, ) Clasificación: (mínimo local, máximo local, punto silla, no se puede determinar)

El punto crítico con la siguiente coordenada x más pequeña es
(, ) Clasificación: (mínimo local, máximo local, punto silla, no se puede determinar)

5. Debes fabricar una caja rectangular con 3 dimensiones x, y y z, y volumen v = 2197. Encuentre las dimensiones que minimizan el área de superficie de esta caja.
x =
y =
z =

6. Encuentra las coordenadas del punto (x, y, z) en el plano z = 2 x + 2 y + 3 que está más cerca del origen.
x =
y =
z =

7. Encuentra el mínimo absoluto y el máximo absoluto de

f ( x y )=12?5 x +10 y

en la región triangular cerrada con vértices (00)(100) y (1014).

Enumere los valores máximos/mínimos, así como los puntos en los que ocurren. Ignore los espacios en blanco de respuesta innecesarios.

Valor mínimo:
Ocurre en (,) y (,)

Valor máximo:
Ocurre en (,) y (,)

8. Encuentra los valores máximo y mínimo de f ( x y )=4 x + y en la elipse x^ 2+36 y^ 2=1
valor máximo:
valor mínimo:

9. Para cada una de las siguientes funciones, encuentra los valores máximo y mínimo de la función en el disco circular: x^ 2+ y^ 21. Haz esto observando las curvas de nivel y los gradientes.

(A) f ( x y )= x + y +2:
valor máximo =
valor mínimo =

(B) f ( x y )=2 x^ 2+3 y^ 2:
valor máximo =
valor mínimo =

(C) f ( x y )=2 x^ 2?3 y^ 2:
valor máximo =

10. Para cada una de las siguientes funciones, encuentre los valores máximo y mínimo de la función en la región rectangular: ?1 x 1?2 y 2.
Haga esto observando las curvas de nivel y los gradientes.

(A) f ( x y )= x + y +1:
valor máximo =
valor mínimo =

(B) f ( x y )=1 x^ 2+2 y^ 2:
valor máximo =
valor mínimo =

(C) = f ( x y )=(2)^2 x^ 2?(1)^2 y^ 2:
valor máximo =
valor mínimo =
valor mínimo =

11. Encuentra los valores máximo y mínimo de f ( x y )=1 x^ 2+2 y^ 2 en el disco D: x^ 2+ y^ 21.
valor máximo:
valor mínimo: