Pregunta: 1. Si 𝐶 es una curva dada paramétricamente por 𝑥 = 𝑡 + 2, 𝑦 = 𝑡2 + 4, 𝑡 ∈ [0,3], entonces la longitud 𝐿 de la curva viene dada por (a) ∫3 √1 + 2𝑡2𝑑𝑡 (b)∫3 √1 + 4𝑡2𝑑𝑡 (c)∫3 𝑡2√1 + 4𝑡2𝑑𝑡 000 (d) Ninguno de los _______________________________________________________________________ anteriores 2. Si la pendiente de la recta tangente a una

1. Si 𝐶 es una curva dada paramétricamente por 𝑥 = 𝑡 + 2, 𝑦 = 𝑡2 + 4, 𝑡 ∈ [0,3], entonces la longitud 𝐿 de la curva viene dada por

(a) ∫3 √1 + 2𝑡2𝑑𝑡 (b)∫3 √1 + 4𝑡2𝑑𝑡 (c)∫3 𝑡2√1 + 4𝑡2𝑑𝑡 000

(d) Ninguno de los _______________________________________________________________________ anteriores

2. Si la pendiente de la recta tangente a una gráfica 𝑟 = 𝑓(𝜃) está dada por 𝑚 = 𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃 entonces −2𝑠𝑖𝑛𝜃

recta tangente es horizontal en

(a) 𝜃 = 0 (b) 𝜃 = 𝜋2 (c)𝜃 = 𝜋4 (d) Ninguno de los anteriores _______________________________________________________________________

⃗
3. El valor de 𝑐 que hace que el vector 𝑣⃗ = 𝑐(𝑖⃗+ 𝑗⃗+ 𝑘) sea un vector unitario es

(a) √3 (b) 1 (c) 1 (d) Ninguna de las anteriores √3

________________________________________________________________________ 4. El vector cero es un vector que es

(a) paralela a todo vector (b) ortogonal a todo vector (c) paralela y ortogonal a todo vector (d) Ninguna de las anteriores ________________________________________________________________________ 5. Las rectas 𝑙1 : 𝑥−2 = 𝑦−1 = 𝑧 𝑎𝑛𝑑 𝑙2: 𝑥+2 = 𝑦−3 = 𝑧+1 son

(a) paralelo (b) ortogonal (c) Ninguno de los anteriores ________________________________________________________________________

6. La ecuación del plano que pasa por el punto (−1,2,4) y paralelo a la 𝑥𝑧 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒 es

−3 4 1 4 2 4

(a) 𝑥 = −1 (b) 𝑦 = 2 (c)𝑧 = 4

(d) Ninguna de las anteriores

Pregunta II:

A. Sea 𝑟⃗(𝑡) = 𝑡𝑖⃗ + 𝑡2𝑗⃗, 𝑡 ∈ R, el vector de posición de un punto en movimiento 𝑃. Luego responde lo siguiente:

(i) Trace la curva determinada por 𝑟⃗(𝑡) e indique la orientación para −2 ≤ 𝑡 ≤ 2. ⃗⃗ ⃗

(i) Calcule el vector unitario tangente 𝑇(𝑡) y el vector unitario normal principal 𝑁(𝑡), luego dibuje ⃗⃗ ⃗

𝑇(0) 𝑎𝑛𝑑 𝑁(0).

(iii) Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración. (iv) Calcule la curvatura 𝐾.

B Escribe las fórmulas para la curvatura y compara entre ellas.

Pregunta III:
A. Usar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

∮ (𝑥+𝑦)𝑑𝑥+(𝑦+𝑥2)𝑑𝑦, 𝐶

donde 𝐶 es el círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 1.

B. Usa el teorema de la divergencia para encontrar el flujo ∫∫ 𝐹⃗. 𝑛⃗ 𝑑𝑆, donde 𝑆

⃗2 −𝑧2⃗ 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = (𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦𝑧)𝑖⃗+ (𝑦 − 𝑥𝑒 )𝑗⃗+ 𝑧 𝑘,

y𝑆 es la superficie de la región acotada por el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 y los planos𝑥 + 𝑧 = 2𝑎𝑛𝑑 𝑧=0.

Cuestión IV:
A. Para el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧)𝑖⃗ + (𝑥 + 𝑧)𝑗⃗ + (𝑥 + 𝑦)𝑘, responde lo siguiente: (i) Encuentra 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝐹⃗.

(ii) Deducir de (i) que ∫ 𝐹⃗. 𝑑𝑟⃗ es independiente del camino. 𝐶

(iii) Encuentra una función potencial 𝑓 para 𝐹⃗, 𝑖. 𝑒. , ∇𝑓 = 𝐹⃗.

B. Usa el teorema de la divergencia para encontrar el flujo ∫∫ 𝐹⃗. 𝑛⃗ 𝑑𝑆, donde 𝑆

⃗2 −𝑧2⃗ 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = (𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦𝑧)𝑖⃗+ (𝑦 − 𝑥𝑒 )𝑗⃗+ 𝑧 𝑘,

y𝑆 es la superficie de la región acotada por el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 y los planos𝑥 + 𝑧 = 2𝑎𝑛𝑑 𝑧=0.

Cuestión IV:
A. Para el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧)𝑖⃗ + (𝑥 + 𝑧)𝑗⃗ + (𝑥 + 𝑦)𝑘, responde lo siguiente: (i) Encuentra 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝐹⃗.

(ii) Deducir de (i) que ∫ 𝐹⃗. 𝑑𝑟⃗ es independiente del camino. 𝐶

(iii) Encuentra una función potencial 𝑓 para 𝐹⃗, 𝑖. 𝑒. , ∇𝑓 = 𝐹⃗.

B. Verifique el teorema de Stokes para

⃗ ⃗ 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = 2𝑧𝑖⃗+ 3𝑥𝑗⃗+ 5𝑦𝑘,

donde 𝑆 es parte del paraboloide 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑤𝑖𝑡h 𝑧 ≥ 0 𝑎𝑛𝑑 𝐶 es la traza de 𝑆 en 𝑥𝑦 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒.