Pregunta: 1. Sean X1 y X2 variables aleatorias chi-cuadrado independientes con r1 y r2 grados de libertad, respectivamente. Sean Y1 = (X1/r1)/(X2/r2) e Y2 = X2. (a) Encuentre la función de densidad de probabilidad conjunta de Y1 e Y2. (b) Determine la función de densidad de probabilidad marginal de Y1 y demuestre que Y1 tiene una distribución F.

1. Sean X1 y X2 variables aleatorias chi-cuadrado independientes con r1 y r2 grados de libertad, respectivamente. Sean Y1 = (X1/r1)/(X2/r2) e Y2 = X2.

(a) Encuentre la función de densidad de probabilidad conjunta de Y1 e Y2.

(b) Determine la función de densidad de probabilidad marginal de Y1 y demuestre que Y1 tiene una distribución F. (Esta es otra forma, pero equivalente, de encontrar la función de densidad de probabilidad de F.)

2.

Sean X1,X2 variables aleatorias independientes que representan la vida útil (en horas) de dos componentes clave de un dispositivo que falla cuando y solo cuando fallan ambos componentes. Digamos que cada Xi tiene una distribución exponencial con media 1000. Sea Y1 = min(X1,X2) e Y2 = max(X1,X2), de modo que el espacio de Y1,Y2 sea 0 < y1 < y2 < ∞.

(a) Halle G(y1, y2) = P(Y1 ≤ y1,Y2 ≤ y2).

(b) Calcule la probabilidad de que el dispositivo falle después de 1200 horas; es decir, calcule P(Y2 > 1200).