Pregunta: 1. Preguntas bullet (15 puntos) a) Diga si la ley de composición f:Q×Q→R es interna, externa, mixta o inversa b) Mencione dos leyes de composición de R×R→R c) cIresun R - espacio vectorial, variedad lineal, nada, ambas? d) En el espacio (N,−) donde - es la resta usual, diga cual es el inverso de 2023 e) En el espacio (M2×2(Q) : ) donde - es el producto

1. Preguntas bullet (15 puntos) a) Diga si la ley de composición $\mathrm{f}:\mathbf{Q}\times \mathbf{Q}\to \mathbb{R}$ es interna, externa, mixta o inversa b) Mencione dos leyes de composición de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ c) cIresun $\mathbb{R}$ - espacio vectorial, variedad lineal, nada, ambas? d) En el espacio $(\mathrm{N},-)$ donde - es la resta usual, diga cual es el inverso de 2023 e) En el espacio $(M_{2\times 2}(\mathbb{Q})$ : ) donde - es el producto usual, mencione cual es el neutro si es que tiene, y si lo tiene, de dos matrices inversas entre si 2. Verifique que propiedades poseen las leyes de composición (si es que tienen alguna) (20 puntos) a) $f:\mathbb{Q}\times \mathbf{Q}\to \mathbb{Q}$ donde $f(a,b)=a\odot b=3a+3b$ b) $g:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ donde $g(a,b)=a\oplus b=\sqrt{a\cdot b}$ 3. Considere ta omeracion $(B)(1,2,3,4)\times (1,2,3,4)\to (1,2,3,4)$ definido por $t$ tote que se muestra y diga que propiedades cumple, asociativo. cartintativo, etc (15 puntas) E3. Diga si los siguientes forman un semigrupo, monoide, grupo, grupo abeliano o nada a) $(\mathrm{N},+)$ donde + es la suma usual Moknosde $(20$ puntos) b) $(1,+)$ donde + es la suma ustaal Geve sa $+{\mathrm{p}}^2\mathrm{e}$ c) $\left(M_{n\times n}(\mathbb{R}{)}_{\ast }\right)$ donde - es el producto ustal de matrices y $M_{n\times n}$ (IR) es el contunto de matrices cuadradas de $n\times n$ con entradas reales Nometes 5. Defina una ley de composicion $Q:A\times A\to A$, tal que sea neutro por derecha el 1 y neutro por irquierda el 3 , donde $A=\{0,1,2,3,4\}$ (15 puntos) 6. Defina una ley de composicion $9:A\times A\to A$, tal que sea asoeiativa, donde $A$ a 7. Considere el conjunto $(M_{2\times a}\left(M_1\right),(\theta )$, donde $(\ast )$ se define camb. $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ a& w\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ax& y+b\\ i+c& dw\end{array}\right)$ $(25$ puntos)