Pregunta: 1. f(x, y) = sin(3x + 4y), P(−4, 3), u = 1 2 3 yo − j (a) Encuentre el gradiente de f. ∇f(x, y) = (b) Evalúe el gradiente en el punto P. ∇f(−4, 3) = (c) Encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector u. Duf(−4, 3) = 2. Encuentra la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v . f ( x , y , z ) = sqr rt

1.

f(x, y) = sin(3x + 4y), P(−4, 3), u = 1 2 3 yo − j

(a) Encuentre el gradiente de f.

∇f(x, y) =

(b) Evalúe el gradiente en el punto P.

∇f(−4, 3) =

(c) Encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector u.

Duf(−4, 3) =

2. Encuentra la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v .

f ( x , y , z ) = sqr rt (x,y,z)

(4, 1, 9),

v = <1, −2, 2>

3. Encuentra la tasa máxima de cambio de f en el punto dado y la dirección en la que ocurre.

f ( x , y ) = 7 sin( xy ), (0, 8)

4. Encuentre todos los puntos en los que la dirección de cambio más rápido de la función

F ( X , y ) = X ² + y ² - 6 X - 8 y

es

yo + j .

(Ingrese su respuesta como una ecuación.)

5. Suponga que en cierta región del espacio el potencial eléctrico V viene dado por la siguiente ecuación.

V ( X , y , z ) = 3 X ² - 3 xy + xyz

(a) Encuentre la tasa de cambio del potencial en P (4, 2, 5) en la dirección del vector v = i + j − k .

(b) ¿En qué dirección cambia V más rápidamente en P ?

(c) ¿Cuál es la tasa máxima de cambio en P ?

6. Supón que estás subiendo una colina cuya forma viene dada por la ecuación

z = 1600 − 0,005 x ² − 0,01 y ² ,

donde x , y y z se miden en metros y usted se encuentra en un punto con coordenadas (60, 40, 1566). El eje x positivo apunta al este y el eje y positivo apunta al norte.

(a) Si camina hacia el sur, ¿comenzará a ascender o descender?

¿A qué tasa?

_____metros verticales por metro horizontal

(c) ¿En qué dirección es mayor la pendiente?

¿Cuál es la velocidad de ascenso en esa dirección?

____metros verticales por metro horizontal

(d) ¿En qué ángulo por encima de la horizontal comienza el camino en esa dirección? (Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.)

_____ °

7. Encuentra todas las segundas derivadas parciales.

f ( x , y ) = x ⁵ y ⁸ + 9 x ⁷ y

fxx

fxy

arreglo

fyy

8. La temperatura en un punto ( x , y ) sobre una placa plana de metal viene dada por T ( x , y ) = 85/(2 + x ² + y ² ), donde T se mide en °C y x , y en metros Encuentre la tasa de cambio de temperatura con respecto a la distancia en el punto (2, 1) en la dirección x y en la dirección y .

9. Evalúe f _x , f _y y f _z en el punto dado.

F ( X , y , z ) = X ² y ³ + 4 xyz − 2 yz , (−3, 1, 1)

10. Encuentra una ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto especificado.

z = 2( x − 1) ² + 3( y + 3) ² + 5, (2, −1, 19)