Pregunta: 1. Encuentra un polinomio reducible sobre Z 2 que no tenga raíces en Z 2 2. Encuentra los polinomios a(x) y b(x) en Z 5 [x] tales que a(x)(3x 3 −x+3)+b(x)(x 2 +x−2) = x 2 − 1 (todos los coeficientes están en Z 5 , pero, como es costumbre, escribimos 3 en lugar de [3] 5 ). 3. Sea p(x) = x 2 − x + 2 un polinomio sobre Z 5 . (a) Compruebe que p(x) es

1. Encuentra un polinomio reducible sobre Z ₂ que no tenga raíces en Z ₂

2. Encuentra los polinomios a(x) y b(x) en Z ₅ [x] tales que a(x)(3x ³ −x+3)+b(x)(x ² +x−2) = x ² − 1 (todos los coeficientes están en Z ₅ , pero, como es costumbre, escribimos 3 en lugar de [3] ₅ ).

3. Sea p(x) = x ² − x + 2 un polinomio sobre Z ₅ .

(a) Compruebe que p(x) es irreducible.

(b) De la teoría general (teorema de Kronecker) se sigue que la clase de congruencia [x] _p(x) es una raíz del polinomio p(x) en el campo Z ₅ [x]/<p(x)>. Encuentra la otra raíz del polinomio p(x) en ese campo más grande.

4. Hemos notado en varias ocasiones que el conjunto de polinomios sobre un campo tiene propiedades similares al conjunto de números enteros y que los polinomios irreducibles son algo similares a los números primos. Probamos en clase (como parte de la demostración del teorema de Kronecker) que si p(x) es irreducible, entonces F[x]/<p(x)> es un campo. Adapte ese argumento para mostrar que, si p es un número primo, entonces Zp es un campo.