Pregunta: 1) Encuentra el vector gradiente f para f(x, y, z) = x2 - 2xy + 3z2 en el punto P(1, 3, 2). 1) 2) Dado f(x, y, z) = x3 - 3xyz + z4, (a) ¿en qué dirección aumenta f más rápidamente en 2) el punto (1, -1, 1)? (b) ¿Cuál es la tasa de aumento de f en esa dirección en ese punto? 3) Usa el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores

1) Encuentra el vector gradiente f para f(x, y, z) = x2 - 2xy + 3z2 en el punto P(1, 3, 2). 1)

2) Dado f(x, y, z) = x3 - 3xyz + z4, (a) ¿en qué dirección aumenta f más rápidamente en 2) el punto (1, -1, 1)?
(b) ¿Cuál es la tasa de aumento de f en esa dirección en ese punto?

3) Usa el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores extremos de 3x - 4y + 12z en 3) la superficie esférica con ecuación x2 + y2 + z2 = 1.

4) Usa el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores extremos de la expresión

x^2y^2z^2 en la superficie esférica con ecuación x2 + y2 + z2 = 3 y los puntos en la superficie en los que ocurren estos extremos.

5) Dado f(x, y, z) = x^2y^3z^6, ¿en qué dirección aumenta f(x, y, z) más rápidamente en 5) el punto P(1, -1, 1) ? ¿Cuál es su tasa de aumento en esa dirección?

8) Encuentra el centro y el radio de la esfera con la ecuación x2 + y2 + z2 = 6y + 18z - 2x.

9) Dados a = 24i - 8j + 12k yb = 3i - j + 3/2 k , determine si a y b son paralelos, 9) perpendiculares o ninguno.

10) Dado a = 2i - j + k y b = i + 3j + 2k, encuentre a × b.

11) Encuentre los valores de r'(t) y r''(t) para r = 2cos (2t)i - sin (2t)j en el punto t = π/3

12) Encuentre los vectores unitarios T y N para la curva r(t) = cos (t)i + sin (t)j + 2tk en t = π/2

13) Sea f(x, y, z) = x^2y^2z^2 + xy + xz + yz, calcule las distintas derivadas parciales de segundo orden de f y la derivada parcial de tercer orden fxyz.

14) Calcular la divergencia y rotacional del campo vectorial F(x, y, z) = 2xi + 3yj + 4zk

15) Si el campo vectorial dado es conservativo, encuentre una función potencial para el campo. F(x, y) = (8xy - 2y + 3y2)i + (4x2 - 2x + 6xy)j

18) Encuentra dw/dt usando la regla de la cadena. Exprese su respuesta final en términos de t.

w =x^2 + xy + y^2, x = e^2t, y = t

19) Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado.

x^2+2yz+y^2-3xz-z^2-18=0, (1,-3,-1)

20) Encuentre todos los valores extremos locales de la función dada e identifique cada uno como máximo local, mínimo local o silla de montar

punto.

f(x, y) = x^2 - 12x + y^2 + 4y + 5

21) Multiplicadores de Lagrance: Encuentra los valores extremos de la función sujeta a la restricción dada.

f(x, y) = xy, x^2 + y^2 = 128

26) Encuentra el jacobiano J(u, v).

u = -3x + 5y, v = -4x+ 3y

28) Encuentra div F.
F(x, y, z) = 2xyzi + 8yzj + 6zk

29) Encuentra el rizo F.
F(x, y, z) = 2xyzi + 8yzj + 5zk

32) Determine si F es conservativa.

F(x,y) = (x - 4y + 5)i + (-4x + 3y + 8)j

33)Encuentre f tal que F = f. Si la función no es conservativa, dígalo así.

F(x,y) = (x - 3y + 7)i + (-3x + 3y + 8)j

37) evaluar ∫ ∫ g(x, y, z) dS . GRAMO

g(x, y, z) = z; G: y2 + z2 = 49, z 0, 2 x 3