Pregunta: 1 Definiciones básicas 1.1 1-formas Una forma 1 diferencial en R3 es una expresión de la forma f dx + g dy + h dz. Aquí f, g y h son funciones escalares en tres variables x, y y z. Esta expresión parece extraña. Solo tómalo como una expresión abstracta por ahora. 1.2 Adición de formas 1 Podemos sumar dos formas 1 por la fórmula (f dx + g dy + h dz) + (f0 dx

1 Definiciones básicas
1.1 1-formas
Una forma 1 diferencial en R3 es una expresión de la forma
f dx + g dy + h dz.
Aquí f, g y h son funciones escalares en tres variables x, y y z.
Esta expresión parece extraña. Solo tómalo como una expresión abstracta por ahora.
1.2 Adición de formas 1
Podemos sumar dos formas 1 por la fórmula
(f dx + g dy + h dz) + (f0 dx + g0 dy + h0 dz) = (f + f0) dx + (g + g0) dy + (h + h0) dz.
Por ejemplo
y2 dx + (x + z) dy + 7 dz + xz dx + y dy + sin(z) dz = (y2 + xz) dx + (x + y + z) dy + (7 + sin(t)) dz .
1.3 Multiplicación de formas 1
Definimos el producto cuña ∧ de dos formas 1. Hacemos esto tal que, por ejemplo, dx∧dy = −dy∧dx. Esto significa que este producto no es "conmutativo". Cuando cambia el orden, debe poner un signo menos al frente. De esa manera se comporta un poco como el producto cruz de vectores. Problema 1. Demostrar que para la variable ua, du∧du = 0. Hacemos un ejemplo de esto. Sea α = y2 dx + (x + z) dy + 7 dz, β = xz dx + y dy + sin(z) dz, entonces α∧β = (y2 dx + (x + z)dy + 7 dz)∧ (xz dx + y dy + sin(z)dz) = y3 dx∧dy + y2 sin(z)dx∧dz + (x + z)xz dy∧dx + (x + z)sin(z)dy∧dz + 7xz dz∧dx + 7y dz∧dy = (x + z)sin(z)−7y)dy∧dz + (7xz−y2 sin(z))dz∧dx + (y3 −(x + z)xz) dx∧dy.
El orden de las cuñas en la respuesta final es importante. Tenga en cuenta que esto no es una forma 1, sino una forma 2, como lo definiremos en un momento.
Problema 2. Sean α = xdx+z dy, β = sin(xz)dx+z dy+y dz. Encuentre α∧β.
1.4 0 formularios, 2 formularios y 3 formularios
Una forma 0 es solo una función escalar f.
Una forma 2 es una expresión de la forma f dy∧dz + g dz∧dx + hdx∧dy.
Nuevamente, f, g y h son funciones escalares.
Una forma 3 es una expresión de la forma f dx∧dy∧dz. donde f es una función escalar.
Del ejemplo anterior, vemos que el producto de dos formas 1 es una forma 2.
1.5 Suma y multiplicación de formas 0, formas 2 y formas 3
Puede considerar que dy ∧dz, dz ∧dx y dx∧dy es un tipo de base para el espacio de 2 formas. La suma se realiza “por componentes”. No se pueden agregar formas “diferentes”. Pero podemos multiplicar diferentes formas. El producto de una forma 2 y una forma 1 es una forma 3. Por ejemplo, considere el siguiente problema. Problema 3. Sean α = dx+dz y ω = dy∧dz +xdz∧dx+y dx∧dy. Encuentra α∧ω. Tenga en cuenta que este será un formulario de 3. Parte de este problema es averiguar cómo se hace esto.
2 Operador diferencial
Ahora definimos el operador derivado en las formas diferenciales. Para una forma 0 (función escalar) f definimos
df =
∂f ∂x
dx +
∂f ∂y
dy +
∂f ∂z
dz.
Observamos que el operador derivado de una forma 0 es una forma 1. También podemos aplicar el operador a formas 1. Usamos la fórmula d(f dx + g dy + hdz) = d(f)∧dx + d(g)∧dy + d(h)∧dz.
Como ejemplo, considere f(x,y,z) = x2yz + z. Entonces
df =
∂f ∂x
dx +
∂f ∂y
dy +
∂f ∂z
dz
= (2xyz)dx + (x2z)dy + (x2y + 1)dz.
Problema 4a. Encontrar
d(x2 dx + zxdy + dx).
Problema 4b. Dejar
ω = 3(dx∧dy) + 5(dx∧dz) + 7(dy∧dz))
Encuentre dω.
Problema 4c. Para las formas 0 de f y g, demuestre que
d(fg) = fd(g) + gd(f)
Problema 4d. Demostrar que para α y β 1-formas
d(α∧β) = (dα)∧β −α∧dβ. ¿Cómo funciona esto para 2 formas?
Problema 4e. Dejar
ω = (xy)dy∧dz + (yz)dz∧dx + (xy + z)dx∧dy.
Encuentre dω.
2.1 Conexión con lo que ya sabemos de Cálculo 3
Ahora hacemos las siguientes identificaciones • Una forma 0 es una función escalar (es básicamente cierto por definición) • Una forma 1 f dx + g dy + hdz es el campo vectorial (f,g,h). • Una forma de 2 f dy∧dz + g dz∧dx + hdx∧dy es el campo vectorial (f,g,h). • Una forma de 3 f dx∧dy∧dz es la función escalar f. Con estas identificaciones resuelve el siguiente problema.
Problema 5. A continuación consideramos formas definidas en R3. Demuestre que 1. Si f es una forma 0, entonces df es el gradiente de f.
2. Si α es una forma de 1, entonces dα es el rizo de α.
3. Si ω es una forma de 2, entonces dω es la divergencia de ω
4. Si Ω es una forma de 3, entonces dΩ = 0.
Con esto en mente, tenemos el siguiente teorema
Teorema. Para una forma diferencial α, α = dβ para otra forma diferencial β si y solo si dα = 0.
Problema 6. Demuestra este teorema. Es decir, por ejemplo, probar que si α es una forma 1 y que α = dβ para una forma 0 β, entonces dα = 0.
3 Usos de formas diferenciales
Recordamos el operador diferencial "de" formas 0:
df =
∂f ∂x
dx +
∂f ∂y
dy +
∂f ∂z
dz.
Por ejemplo, si f(x) = x2+1, entonces df = 2xdx. Vemos la similitud entre escribir esto y escribir que df dx = 2x.
3.1 Integrales
Recuerda el teorema de Stoke de la clase. Bajo varias suposiciones, tenemos que ZC ~ F ·d~r =ZZ S curlF ·dS.
Aquí C es el límite de S. A menudo escribimos cosas como ∂S = C.
Para la integración, en general podemos integrar una forma n sobre un objeto n-dimensional. Entonces, las formas 1 se pueden integrar sobre curvas (los intervalos de recuperación son curvas). Las 2 formas se pueden integrar sobre objetos bidimensionales.
El teorema de Stokes ahora se parece a esto ZS dω =Z∂S ω.
3.2 Integrales de formas 0
Integramos 0-formas f usando la definición Z∂C f = f(b)−f(a) donde C es una curva de a a b.
3.3 Integrales de 1-formas
La integración de formas 1 es equivalente a nuestra integral de Riemann habitual. Considere el ejemplo donde f es una función de una variable x. Digamos que f está definida en el intervalo/curva C = [a,b]. Tenga en cuenta que −C = [b,a] (la orientación inversa). Entonces decimos que ∂C = {a,b}. Entonces df = f0(x)dx es una forma 1. Entonces tenemos ZC df =Z∂C f0(x)dx = f(b)−f(a). Tenga en cuenta que solo tenemos integrales de formas 1 que son diferenciales (de formas 0). Este es nuestro Teorema Fundamental de Cálculo habitual.
Consideremos ahora una integral de línea, o una integral de forma 1.
Ejemplo: Considere la forma 1 −y dx + xdy. Sea C la curva C(t) = (cos(t),sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π. Entonces podemos formar y encontrar la integral ZC −y dx + xdy =Z[0,2π]−sin(t)d(cost) + cos(t)d(sint) =Z[0,2π]−sin(t )(−sen(t))dt + cos(t)cos(t)dt =Z[0,2π] sen2(t) + cos2(t) dt = 2π.
La integración de formas 1 es lo mismo que las integrales de línea.
Problema 7. Sea C el segmento de recta vertical de (3,4,5) a (3,4,0). Encuentre ZC y dx + z dy + xdz. Primero necesita encontrar una parametrización del segmento de línea.
3.4 Integrales de 2 formas
Integrar 2 formas es lo mismo que encontrar integrales de flujo sobre un campo vectorial. Problema 8. Sea S parte del paraboloide z = 1−x2 −y2 donde z ≥ 0. Esta es una superficie. Defina la orientación para que sea hacia afuera. Ahora calcule la integral ZZ S y dy∧dz + z dz∧dx + xdx∧dy.
Esta integral es básicamente lo mismo que una integral sobre la superficie S de un campo vectorial. Dale sentido a esto.