Pregunta: 1. Considere el modelo de regresión lineal múltiple con tres variables independientes: y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + u Le gustaría probar la hipótesis nula H0 : β1 + 2β2 = 0 vs H1 : β1 + 2β2 6= 0. (a) Sean βˆ1 y βˆ2 los estimadores MCO de β1 y β2. Encuentre V ar(βˆ1 + 2βˆ2) en términos de V ar(βˆ1), V ar(βˆ2) y Cov(βˆ1,βˆ2). (b) ¿Cuál es la desviación

1. Considere el modelo de regresión lineal múltiple con tres variables independientes:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + u Le gustaría probar la hipótesis nula H0 : β1 + 2β2 = 0 vs H1 : β1 + 2β2 6= 0.

(a) Sean βˆ1 y βˆ2 los estimadores MCO de β1 y β2. Encuentre V ar(βˆ1 + 2βˆ2) en términos de V ar(βˆ1), V ar(βˆ2) y Cov(βˆ1,βˆ2).

(b) ¿Cuál es la desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza) de βˆ1 + 2βˆ2? ¿Puedes encontrarlo si las únicas dos cosas que conoces son V ar(βˆ1) y V ar(βˆ2)?

(c) Escriba el estadístico t para probar H0: β1 + 2β2 = 1 usando sus resultados en (a).

(d) Defina θ1 = β1 + 2β2 y escriba esta hipótesis nula y la alternativa en términos de θ1.

(e) Utilizando la reparametrización β1 = θ1 −2β2, reescriba la ecuación de regresión para que involucre solo β0, θ1, β2 y β3.

(f) Explique en detalle cómo puede usar la ecuación de regresión en (e) para estimar θ1 y probar las hipótesis en (d).