Pregunta: 1. . Sea X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Yn sean variables aleatorias mutuamente independientes, y Z = 1 n Pn i=1 XiYi . Supongamos que para cada i ∈ {1, . . . , n}, Xi ∼ Bernoulli(p), Yi ∼ Binomial(n, p). ¿Qué es Var[Z]? 2. Hay una moneda justa y una moneda sesgada que sale cara con probabilidad de 1/4. Eliges al azar una de las monedas y la lanzas hasta que

1. . Sea X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Yn sean variables aleatorias mutuamente independientes, y Z = 1 n Pn i=1 XiYi . Supongamos que para cada i ∈ {1, . . . , n}, Xi ∼ Bernoulli(p), Yi ∼ Binomial(n, p). ¿Qué es Var[Z]?

2. Hay una moneda justa y una moneda sesgada que sale cara con probabilidad de 1/4. Eliges al azar una de las monedas y la lanzas hasta que salga cara. Sea X el número de lanzamientos que necesitas. Calcule E[X] y Var[X].

3. Un hombre tiene un juego de n llaves, una de las cuales sirve para la puerta de su departamento. Prueba las llaves al azar, tirando cada llave que no encaja bien hasta que encuentra la que encaja. Es decir, elige claves al azar entre aquellas que aún no ha probado. De esta manera seguramente encontrará la clave correcta en n intentos. Sea T el número de veces que intenta claves hasta que encuentra la clave correcta. Escribe expresiones en forma cerrada para E[T] y Var[T]. Sugerencia: escriba T como una combinación lineal de variables indicadoras.

4. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer de 5 cartas tenga al menos tres espadas? (b) ¿Qué límite superior da el teorema de Markov para esta probabilidad? (c) ¿Qué límite superior da el teorema de Chebyshev para esta probabilidad?

5. Una variable aleatoria X siempre es estrictamente mayor que −100. Sabes que E[X] = −60. Dé el mejor límite superior que pueda para P(X ≥ −20).

6. Supongamos que lanzamos un dado justo estándar 100 veces. Sea X la suma de los números que aparecen sobre los 100 rollos. Utilice la desigualdad de Chebyshev para limitar P[|X − 350| ≥ 50].

7. Dadas dos variables aleatorias cualesquiera X e Y, por la linealidad de la expectativa tenemos E[X −Y ] = E[X]−E[Y ]. Demuestre que, cuando X e Y son independientes, Var[X − Y ] = Var[X] + Var[Y].