(0.25) puntos Calcula la integral ∫02π2−sen(θ)1dθ Indicación: considera la función f(z)=iz(2−2i1(z−z1))1 y usa la Proposición 7 y el Teorema 12.∫02π2−sen(θ)1dθf(z)=iz(2−2i1(z−z1))1yusaProposición 7. Sea A una región, z0∈A y f:A\{z0}→C analítica, entonces z0 es un polo simple si y sólo si limz→z0f(z)(z−z0) existe y no es 0 . Este límite es el residuo de f en

(0.25) puntos Calcula la integral ∫02π2−sen(θ)1dθ

Pregunta: (0.25) puntos Calcula la integral ∫02π2−sen(θ)1dθ Indicación: considera la función f(z)=iz(2−2i1(z−z1))1 y usa la Proposición 7 y el Teorema 12.∫02π2−sen(θ)1dθf(z)=iz(2−2i1(z−z1))1yusaProposición 7. Sea A una región, z0∈A y f:A\{z0}→C analítica, entonces z0 es un polo simple si y sólo si limz→z0f(z)(z−z0) existe y no es 0 . Este límite es el residuo de f en

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(0.25) puntos Calcula la integral $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 - sen ( θ )} d θ$ Indicación: considera la función $f (z) = \frac{1}{i z ( 2 - \frac{1}{2 i} ( z - \frac{1}{z} ) )}$ y usa la Proposición 7 y el Teorema 12. $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 - sen ( θ )} d θ f (z) = \frac{1}{i z ( 2 - \frac{1}{2 i} ( z - \frac{1}{z} ) )} y u s a$ Proposición 7. Sea $A$ una región, $z_{0} \in A$ y $f : A \ {z_{0}} \to C$ analítica, entonces $z_{0}$ es un polo simple si y sólo si $lim_{z \to z_{0}} f (z) (z - z_{0})$ existe y no es 0 . Este límite es el residuo de $f$ en $z_{0}$ . Teorema 12. Sea $R (x, y)$ una función racional en dos variables $x$ y $y$ y $f (z) = \frac{R ( \frac{1}{2} ( z + \frac{1}{z} ) , \frac{1}{2 i} ( z - \frac{1}{z} ) )}{i z} .$ Supóngase también que $f$ no tiene polos en el círculo unitario, entonces $\int_{0}^{2 π} R (cos (θ), sen (θ)) d θ = 2 πi \sum_{z \in Δ} Res (f)$ donde $Δ = {z \in C : ∣ z ∣ < 1}$ Ahora bien, calculemos la integral $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{b + c o s ( θ )} d θ$ con $b > 1$ . Para ello, sea $γ (θ) = cos (θ) + sen (θ)$ y $f (z) = \frac{1}{i z ( b + \frac{1}{2} ( z + \frac{1}{z} ) )} = \frac{- 2 i}{z ( z + \frac{1}{z} + 2 b )} = \frac{- 2 i}{z ^{2} + 2 b z + 1} = \frac{- 2 i}{( z - α _{1} ) ( z - α _{2} )}$ donde $α_{1}, α_{2} = \frac{- 2 b \pm 4 b ^{2} - 4}{2} = - b \pm b^{2} - 1$ . Notemos que $α_{1} \in Δ$ , pues $b^{2} - 1 < 1 + b$ , mientras que $α_{2}$ está en el exterior de $△^{2}$ . Además, como $lim_{z \to α_{1}} f (z) (z - α_{1}) = \frac{- 2 i}{α _{1} - α _{2}} = \frac{- i}{b ^{2} - 1}$ por la proposición 7 , el residuo de $α_{1}$ es $\frac{- i}{b ^{2} - 1}$ . Por el Teorema 12 tenemos que $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{b + c o s ( θ )} d θ = 2 πi (\frac{- i}{b ^{2} - 1}) = \frac{2 π}{b ^{2} - 1}$

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(0.25) puntos Calcula la integral

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 - sen ( θ )} d θ

Indicación: considera la función

f (z) = \frac{1}{i z ( 2 - \frac{1}{2 i} ( z - \frac{1}{z} ) )}

y usa la Proposición 7 y el Teorema 12.

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 - sen ( θ )} d θ f (z) = \frac{1}{i z ( 2 - \frac{1}{2 i} ( z - \frac{1}{z} ) )} y u s a

Proposición 7. Sea

A

una región,

z_{0} \in A

f : A \ {z_{0}} \to C

analítica, entonces

z_{0}

es un polo simple si y sólo si

lim_{z \to z_{0}} f (z) (z - z_{0})

existe y no es 0 . Este límite es el residuo de

f

z_{0}

. Teorema 12. Sea

R (x, y)

una función racional en dos variables

x

y

f (z) = \frac{R ( \frac{1}{2} ( z + \frac{1}{z} ) , \frac{1}{2 i} ( z - \frac{1}{z} ) )}{i z} .

Supóngase también que

f

no tiene polos en el círculo unitario, entonces

\int_{0}^{2 π} R (cos (θ), sen (θ)) d θ = 2 πi \sum_{z \in Δ} Res (f)

donde

Δ = {z \in C : ∣ z ∣ < 1}

Ahora bien, calculemos la integral

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{b + c o s ( θ )} d θ

con

b > 1

. Para ello, sea

γ (θ) = cos (θ) + sen (θ)

f (z) = \frac{1}{i z ( b + \frac{1}{2} ( z + \frac{1}{z} ) )} = \frac{- 2 i}{z ( z + \frac{1}{z} + 2 b )} = \frac{- 2 i}{z ^{2} + 2 b z + 1} = \frac{- 2 i}{( z - α _{1} ) ( z - α _{2} )}

donde

α_{1}, α_{2} = \frac{- 2 b \pm 4 b ^{2} - 4}{2} = - b \pm b^{2} - 1

. Notemos que

α_{1} \in Δ

, pues

b^{2} - 1 < 1 + b

, mientras que

α_{2}

está en el exterior de

△^{2}

. Además, como

lim_{z \to α_{1}} f (z) (z - α_{1}) = \frac{- 2 i}{α _{1} - α _{2}} = \frac{- i}{b ^{2} - 1}

por la proposición 7 , el residuo de

α_{1}

\frac{- i}{b ^{2} - 1}

. Por el Teorema 12 tenemos que

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{b + c o s ( θ )} d θ = 2 πi (\frac{- i}{b ^{2} - 1}) = \frac{2 π}{b ^{2} - 1}

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