Resuelto I. Considere w=x2−2xy+y2,x=r+θ,y=r−θ para determinar

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Pregunta: I. Considere w=x2−2xy+y2,x=r+θ,y=r−θ para determinar ∂r∂w&∂θ∂w II. Considere w=xycos(z),x=t,y=t2&z=arccos(t) para determinar ∂t∂w. III. Determine la derivada direccional de la función en dirección de PQ f(x,y)=x2+3y2 donde P(1,1) y Q(4,5). IV.Determine el gradiente de la función y la dirección de máximo crecimiento de la función en el punto dado.

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Hay 4 pasos para resolver este problema.
Solución
Paso 1
Question I:

We have $w = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ and, $x = r + θ, and y = r - θ$

Then by using chain rule we obtain,
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I. Considere

w = x^{2} - 2 x y + y^{2}, x = r + θ, y = r - θ

para determinar

\frac{\partial w}{\partial r} & \frac{\partial w}{\partial θ}

II. Considere

w = x y cos (z), x = t, y = t^{2} & z = arccos (t)

para determinar

\frac{\partial w}{\partial t}

. III. Determine la derivada direccional de la función en dirección de PQ

f (x, y) = x^{2} + 3 y^{2}

donde

P (1, 1)

Q (4, 5)

. IV.Determine el gradiente de la función y la dirección de máximo crecimiento de la función en el punto dado.

f (x, y) = x tan (y); P (2, \frac{π}{3})